Question

已知函数f（x）=x3-ax．（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求...

已知函数f（x）=x3-ax．（a∈R） （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：xf(x)+ax•e-x+xlnx＞32ex-ex-2．

Answer 1

解（I）f′（x）=3x2-a
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增
当a＞0时，由由f′（x）≥0可得c×≥3a3或x≤-3a3
由f′（x）＜0可得-3a3＜x＜3a3
综上可得，a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（3a3，+∞），（-∞，-3a3），单调递减区间（-3a3，3a3）
（II）证明：原不等式可化为xlnx＞32ex-exe2-1x2ex
容易得x＞0，上式两边同乘以x可得x2lnx＞32e-xexe2-1xex
设p（x）=x2lnx，q（x）=32e-xexe2-1xex=32e-(xexe2+1xex)
则由p′（x）=x（2lnx+1）可得x=0（舍）或x=e-12
∴0＜x＜e-12时，p′（x）＜0，x＞e-12时，p′（x）＞0
∴当x=e-12时，函数p（x）取得最小值-12e
∵q（x）=32e-xexe2-1xex=32e-(xexe2+1xex)≤32e-21e2=-12e
当且仅当xexe2=1xex即xex=e时取等号
令r（x）=xex，可得r（x）在（0，+∞）上单调递增，且r（1）=e
当x=1时，q（x）有最小值q（x）=-12e
∴p(x)≥-12e≥q(x)
由于上面两个等号不能同时取得，故有p（x）＞q（x0，则原不等式成立