Question

|设双曲线x²/4-y²/3=1的左右焦点分别为F1,F2

,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点，则|BF2|+|AF2|的最小值为

Answer 1

双曲线半焦距
c=√(4+3)=√7，离心率
e=c/a=√7/2；
设过左焦点F1(-√7,0)的直线方程为
y=k(x+√7)，代入曲线方程得
x²/4-[k(x+√7)]²/3=1；
整理后得
(3-4k²)x²-8k²x√7-28k²-12=0，若方程的根为x1、x2，则：x1+x2=8k²√7/(3-4k²)；
根据双曲线性质，曲线上点A、B到右焦点F2与到右准线x=a²/c
的距离之比等于e，即：
|BF2|+|AF2|=e*[(a²/c)-x1+(a²/c)-x2]=2a﹣e*(x1+x2)=4﹣(√7/2)(x1+x2)；
∴
|BF2|+|AF2|=4﹣(√7/2)*8k²√7/(3-4k²)
=4﹣28k²/(3-4k²)，
因为必须
k²>3/4（否则直线与曲线左支仅有一个交点），上式是关于
k²
的单调递减函数，最小值是当
k²→+∞
（即直线垂直于
x
轴）时取得，|BF2|+|AF2|=4-28/(-4)=11；