大一数学题求解答
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设数列{a(2k-1)}是数列{an}的奇数子数列，其中k=1,2,...
根据题意，{a(2k-1)}收敛，不妨令lim(k->∞) a(2k-1)=A
因为{an}单调增加，所以{a(2k-1)}单调增加
即对{a(2k-1)}中任意一项a(2k-1)，有a(2k-1)<=A
则对数列{an}中的任意一项an，若n是奇数，则an<=A；若n是偶数，则an<=a(n+1)<=A
即对数列{an}中的任意一项an，有an<=A
根据极限定义，对∀ε>0，存在正整数N，使对所有奇数n>N，有|an-A|=A-an<ε
对所有偶数n>N，有|an-A|=A-an<A-a(n-1)<ε
即数列{an}收敛于A
根据题意，{a(2k-1)}收敛，不妨令lim(k->∞) a(2k-1)=A
因为{an}单调增加，所以{a(2k-1)}单调增加
即对{a(2k-1)}中任意一项a(2k-1)，有a(2k-1)<=A
则对数列{an}中的任意一项an，若n是奇数，则an<=A；若n是偶数，则an<=a(n+1)<=A
即对数列{an}中的任意一项an，有an<=A
根据极限定义，对∀ε>0，存在正整数N，使对所有奇数n>N，有|an-A|=A-an<ε
对所有偶数n>N，有|an-A|=A-an<A-a(n-1)<ε
即数列{an}收敛于A
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