Question

已知3sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2tanα.

已知3sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2tanα.

Answer 1

思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.
证明：∵3sinβ=3sin［（α+β）-α］
=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
sin（2α+β）=sin［（α+β）+α］
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
又3sinβ=sin（2α+β），
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.
∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα.
∴tan（α+β）=2tanα.
方法归纳
对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论，用上述条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.
深化升华
三角恒等式的证明实质就是由一种结构形式转化为另一种结构形式.因此证明恒等式的基本思路是：证明等式时必须仔细观察等式两边结构上的差异，然后分析这些差异和联系，最后从解决差异入手，施行适当的变换，直至消除这些差异完成恒等式的证明.