Question

证明:若函数f(x)在(-oo,+oo)内满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x

证明:若函数f(x)在(-oo,+oo)内满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x

Answer 1

证明:用常微分方程来证
∵f'(x)=f(x)，即df(x)/dx=f(x)
∴df(x)/f(x)=dx
∴两边积分，得:ln[f(x)]=x+C
∴两边同取底数为e的自然对数，得:f(x)=e^x+C(C为任意常数)
把f(0)=1代入上式，解得:C=0
∴f(x)=e^x