Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=ax-x．（1）求函数y=f（x）的极值点；（...

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=ax-x． （1）求函数y=f（x）的极值点； （2）对x∈R使f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=ax-x的导数为f′（x）=axlna-1=lna（ax-
1
lna
），
当0＜a＜1时，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，无极值点；
当a＞1时，由ax=
1
lna
，得x=-
ln(lna)
lna
，f′（x）＞0，可得，x＞-
ln(lna)
lna
，
f′（x）＜0，可得，x＜-
ln(lna)
lna
，
则x0=-
ln(lna)
lna
为f（x）的极小值点，无极大值点；
（2）当0＜a＜1时，由y=ax和y=x的图象可得ax≥x在R上不可能恒成立．
则a＞1．
由（1）得x0=-
ln(lna)
lna
，当x＜x0，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞x0，f′（x）＞0，f（x）递增，则有f（x）在x=x0处取得极小值，且为最小值．
对x∈R使f（x）≥0恒成立，则f（x0）≥0，则
1
lna
≥-
ln(lna)
lna
，
即有ln（lna）≥-1，即lna≥
1
e
，解得，a≥e
1
e
．
则当a≥e
1
e
时，f（x）≥0对x∈R恒成立．