Question

高中数学 双曲线性质

椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1 (a>b>0)
与双曲线x^2/m -y^2/n=1 (m,n>0）有公共焦点F1 F2
P是他们一个公共点
1.用b n表示cos角F1PF2
2.用b n表示S三角形F1PF2

Answer 1

题打错了，应该是“与双曲线x^2/m^2 -y^2/n^2=1 (m,n>0）有公共焦点F1 F2

由双曲线和椭圆性质可知 a^2-b^2=m+n=c^2
在椭圆中 PF1^2+PF2^2=2a……（1）
余弦定理 cos∠F1PF2=（PF1^2+PF2^2-F1F2^2）/（2*PF1*PF2）……（2）
由（1）（2）可知 S△PF1F2=b^2*tan（∠F1PF2/2）
在双曲线中 PF1^2-PF2^2=2m……（3）
由（2）（3）可知 S△PF1F2=n^2*cot（∠F1PF2/2）
设tan（∠F1PF2/2）=x
∴b^2*x=n^2/x x=n/b
∴tan（∠F1PF2/2）=n/b
cos∠F1PF2=cos^2（∠F1PF2/2)-sin^2（∠F1PF2/2)=(b^2-n^2)/(n^2+b^2)
S△F1PF2=b^2*tan（∠F1PF2/2）=b^2*(n/b)=bn

Answer 2

为圆,方程为x^2+y^2=a^2
假定P在右支上.
过F1做角分线的垂直,垂足为Q,延长F1Q与PF2,交于点M,连OQ
三角形F1F2M中,OQ为中位线,OQ=F2M/2
F2M=PM-PF2
由于PQ为角分线,为三角形PF1M的高线,所以三角形PF1M为等腰三角形,PM=PF1
F2M=PF1-PF2=2a(双曲线定义)
所以OQ=a
P在左支上方法一样.

Answer 3

设双曲线的方程为
ax^2-by^2=1
点P(5，14)与AB构成以AB为斜边的等腰直角三角形
则PA,PB与直线l的夹角为45度
直线l
k=5/7
PA的斜率k1
(k1-5/7)/(1+5k1/7)=1
k1=6
则PA的方程为
y-14=6(x-5)
即6x-y=16
(1)
5x-7y=1
(2)
解得A点坐标为(3,2)
PB的斜率为
k2=-1/6
则PB的方程为
y-14=-(1/6)(x-5)
即x+6y=89
(3)
解(2)(3)得B点坐标为(17，12)
将A，B两点坐标代入双曲线方程
9a-4b=1
(4)
289a-144b=1
(5)
解(4)(5)得
a=1
b=2
双曲线C的方程为
x^2-2y^2=1