Question

求函数y＝x²＋1/x的凹凸区间和拐点

Answer 1

凸区间：（-1，0）拐点：（-1，0）

解题过程如下：

y＝x²＋1/x

定义域x≠0

y ′ = 2x - 1/x²

y ′′ = 2 +2/x³ = 2(x³+1)/x³ = 2(x+1)(x²-x+1)/x³

凹区间：（-∞，-1），（0，+∞）

凸区间：（-1，0）

x=-1时，y=1-1=0

拐点：（-1，0）

拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

扩展资料

拐点的求法

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

⑴求f''(x)；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点  ，检查f''(x)在  左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(  ,f(x  ))是拐点，当两侧的符号相同时，点(  ,f(x  ))不是拐点。

Answer 2

解：y'=2x-1/x^2
y'=2x-x^(-2)
y''=2-(-2)x^(-3)
=2+2x^(-3)
令y''=0
2+2x^(-3)=0
1+x^(-3)=0
x^(-3)=-1
1/x^3=-1
x^3=-1
x=-1
f(-1)=2x(-1)-1/1=-2-1=-3
拐点（-1，-3）
（2）定义域x/=0
当x<-1时，令x=-2,y''(-2)=2+2x(-2)^(-3)=2+2x(-1/8)=2-1/4=7/4>0
在（-无穷，-1）上时下凹地
当-1<x<0和x>0时，令x=1,y''=2+2x1^(-3)=2+2x1=2+2=4>0

Answer 3

y＝x²＋1/x
定义域x≠0
y ′ = 2x - 1/x²
y ′′ = 2 +2/x³ = 2(x³+1)/x³ = 2(x+1)(x²-x+1)/x³
凹区间：（-∞，-1），（0，+∞）
凸区间：（-1，0）
x=-1时，y=1-1=0
拐点：（-1，0）