函数的凹凸性是怎么定义的

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在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。

例子:设函数 在 上连续。

如果对于 上的两点  ,恒有

1、 ,

2、

那么称第一个不等式中的 是区间  上的凸函数;称第二个不等式中的  为严格凸函数。

同理如果恒有

1、 ,

2、

那么称第一个不等式中的  是区间 上的凹函数;称第二个不等式中的 为严格凹函数。

扩展资料:

不过,在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸,是指曲线,而不是指函数,图像的凹凸与直观感受一致,却与函数的凹凸性相反。

但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。

另外,国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说,可按如下方法准确说明:

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即V型,为“凸向原点”,或“下凸”(也可说上凹),(有的简称凸有的简称凹)

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即A型,为“凹向原点”,或“上凸”(下凹),(同样有的简称凹有的简称凸)

参考资料:百度百科—函数的凹凸性

浅漠轩
2021-05-27 · TA获得超过7324个赞
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函数的凹凸性的定义:

设函数f(x)在区间I上有定义,若对I中的任意两点x₁和x₂,和任意λ∈(0,1),都有:

f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂),

则称f为I上的凸函数,若不等号严格成立,即“>”号成立,则称f(x)在I上是严格凸函数。

同理,如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。

凹凸函数的判定方法:

1、在图像上任取两点A、B连接,若函数图像在两点间的部分均在直线下方,则把该函数在[A,B]之间的部分定义为凹函数。反正为凸函数。

2、求函数的二阶导函数,f”(X),若二阶导函数在[A,B]之间,则:

(1)若 f”(X) ≥ 0,原函数为凹函数;

(2)若 f”(X) ≤ 0,原函数为凸函数。

几何定义:

在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。

直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。凹函数就是图像向下凹进去的.

如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0。

以上内容参考   百度百科-函数的凹凸性

 

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设函数f(x)在区间I上定义,若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1),都有[1]
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),

若不等号严格成立,即"<"号成立,则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。[1]
设f(x)在区间D上连续,如果对D上任意两点a、b恒有
f((a+b)/2)<(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有
f((a+b)/2)>(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是(向上)凸的(或凸弧)

几何定义
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这个定义从几何上看就是:
在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。[1]
直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。比如

如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;[1-2]
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匿名用户
2016-12-06
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设函数f(x)在区间I上定义,若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1),都有[1]  f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等号严格成立,即"<"号成立,则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。设f(x)在区间D上连续,如果对D上任意两点a、b恒有f((a+b)/2)<(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有f((a+b)/2)>(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是(向上)凸的(或凸弧)很高兴为您解答有用请采纳
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7zone射手
2016-12-06 · TA获得超过3万个赞
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经济数学团队为你解答,满意请采纳!

看切线斜率,或者二阶导数都可以


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