Question

同济大学《线性代数》，根据第一张图中画横线的公式，第二张图第二个画波浪线的地方不理解？

为什么第二张图中第二个画波浪线的地方有两个线性无关的解，那么解集的秩就等于2呢？

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Answer 1

图一的研究对象是线性齐次方程组，而图二是研究矩阵(比如图一方程组的系数矩阵)对角化(什么条件下可以，怎么线性变换成只有主对角元的矩阵)，对角化的目的是要解方程组、研究二次型、研究矩阵的实际物理意义等。这样，对于n元线性齐次方程组，未知数个数是n，若系数矩阵的秩为r(换句话说就是只有有效的r个方程)，那解集当然是要有n-r个线性无关的，即解集的秩为n-r，只有这样系数矩阵的秩+解集的秩才是n，与n个未知数相一致；而二次型的系数矩阵对角化，就是要与一个对角矩阵相似，根据相似的充要条件就是矩阵的n个特征值的特征向量线性无关。所以，才有对重根特征值，要求有与重复数一致个数的线性无关特征向量的要求，否则，总的线性无关特征向量数不够n个！也就无法对角化。还有一点，线性齐次方程的系数矩阵不一定是方阵，而对角化的二次型系数矩阵必然是方阵。

Answer 2

答:请注意图一的研究对象是线性齐次方程组，而图二是研究矩阵(比如图一方程组的系数矩阵)对角化(什么条件下可以，怎么线性变换成只有主对角元的矩阵)，对角化的目的是要解方程组、研究二次型、研究矩阵的实际物理意义等。这样，对于n元线性齐次方程组，未知数个数是n，若系数矩阵的秩为r(换句话说就是只有有效的r个方程)，那解集当然是要有n-r个线性无关的，即解集的秩为n-r，只有这样系数矩阵的秩+解集的秩才是n，与n个未知数相一致；而二次型的系数矩阵对角化，就是要与一个对角矩阵相似，根据相似的充要条件就是矩阵的n个特征值的特征向量线性无关。所以，才有对重根特征值，要求有与重复数一致个数的线性无关特征向量的要求，否则，总的线性无关特征向量数不够n个！也就无法对角化。还有一点，线性齐次方程的系数矩阵不一定是方阵，而对角化的二次型系数矩阵必然是方阵！当然，细想一下，图一和图二的道理还是一致的，因为它们都是根据相同的矩阵运算法则这个大前提下进行的研究。

Answer 3

定义就是这样的，有线性无关的解的数量和秩的大小相等，也等于特征向量的个数。