求微分方程dy/dx=y/(x+y^4)的通解
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简单分析一下，答案如图所示
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
正弦振动多用于找出产品设计或包装设计的脆弱点。看在哪一个具体频率点响应最大（共振点）；正弦振动在任一瞬间只包含一种频率的振动，而随机振动在任一瞬间包含频谱范围内的各种频率的振动。由于随机振动包含频谱内所有的频率，所以样品上的共振点会同时激发...
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∵令t=lny,则y=e^t,dy=e^tdt
∴代入原方程得
dy/dx=y/(x+y^4)
==>ydx/dy=(x+y^4)
==>e^tdx/(e^tdt)=(x+e^(4t))
==>dx/dt=x+e^(4t).(1)
∵很容易求出齐次方程dx/dt=x的通解是
x=Ce^t (C是积分常数)
∴根据常数变易法,设方程(1)的解为x=C(t)e^t (C(t)是关于t的函数)
∵代入方程(1)得
C'(t)e^t+C(t)e^t=C(t)e^t+e^(4t)
==>C'(t)e^t=e^(4t)
==>C'(t)=e^(3t)
==>C(t)=e^(3t)/3+C (C是积分常数)
∴方程(1)的通解是x=(e^(3t)/3+C)e^t=e^(4t)/3+Ce^t
故原方程的通解是x=y^4/3+Cy (C是积分常数).
∴代入原方程得
dy/dx=y/(x+y^4)
==>ydx/dy=(x+y^4)
==>e^tdx/(e^tdt)=(x+e^(4t))
==>dx/dt=x+e^(4t).(1)
∵很容易求出齐次方程dx/dt=x的通解是
x=Ce^t (C是积分常数)
∴根据常数变易法,设方程(1)的解为x=C(t)e^t (C(t)是关于t的函数)
∵代入方程(1)得
C'(t)e^t+C(t)e^t=C(t)e^t+e^(4t)
==>C'(t)e^t=e^(4t)
==>C'(t)=e^(3t)
==>C(t)=e^(3t)/3+C (C是积分常数)
∴方程(1)的通解是x=(e^(3t)/3+C)e^t=e^(4t)/3+Ce^t
故原方程的通解是x=y^4/3+Cy (C是积分常数).
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