arctanx+arctan1/x=1/2的证明
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arctanx+arctan1/x=π/2。恒等。
一、方法一：用导数
设f(x)=arctanx+arctan(1/x)
则f'(x)=1/(1+x^2) + 1/[1+(1/x)^2] * (1/x)'
=1/(1+x^2) + [-1/(1+x^2)]
=0
因此f(x)是一个常数,令x=1代入
则f(x)=f(1)=arctan1+arctan1=π/4 +π/4 =π/2
二、方法二：用正切
tan(arctanx+arctant1/x)
=(tanarctanx+tanarctan1/x)/(1-tanarctanx*tanarctan1/x)
=(x+1/x)/0
因为分母不存在
所以arctanx+arctant1/x=π/2
一、方法一：用导数
设f(x)=arctanx+arctan(1/x)
则f'(x)=1/(1+x^2) + 1/[1+(1/x)^2] * (1/x)'
=1/(1+x^2) + [-1/(1+x^2)]
=0
因此f(x)是一个常数,令x=1代入
则f(x)=f(1)=arctan1+arctan1=π/4 +π/4 =π/2
二、方法二：用正切
tan(arctanx+arctant1/x)
=(tanarctanx+tanarctan1/x)/(1-tanarctanx*tanarctan1/x)
=(x+1/x)/0
因为分母不存在
所以arctanx+arctant1/x=π/2
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