Question

极限中的等价无穷小有哪些？

Answer 1

常见的等价无穷小有：sinx~x；tanx~x；arctanx~x；ln（1+x）~x；arcsinx~x；eˣ-1~x；aˣ-1~xlna（a＞0，a≠1）。

采用泰勒展开的高阶等价无穷小：

sinx=x-(1/6)x^3+o(x^3)

cosx=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!+o(x^4)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arcsinx=x+(1/6)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

In(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)

e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+a(a-1)(x^2)/2+o(x^2)

求极限时

使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。