Question

拉普拉斯定理及证明？

Answer 1

设B是一个

 的矩阵，

 为了明确起见，将

 的系数记为

 其中

考虑B的行列式|B|中的每个含有

 的项，它的形式为：

其中的置换τ∈Sn使得τ(i)=j，而σ∈Sn-1是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与τ相同的像上去的置换。显然，每个τ都对应着唯一的σ，每一个σ也对应着唯一的τ。因此我们创建了Sn−1与{τ∈Sn:τ(i)=j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：

定义σ'∈Sn使得对于1≤k≤n−1，σ'(k)=σ(k)并且σ'(n)=n，于是sgnσ'=sgnσ。然后

由于两个轮换分别可以被写成

 和

 个对换，因此

因此映射σ↔τ是双射。由此：

 

 

 

从而拉普拉斯展开成立。

扩展资料：

拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。

定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。