Question

73x+85y-7=0的整数解？

Answer 1

我们要求整数解，可以先用扩展欧几里得算法求出 73 和 85 的最大公约数以及对应的贝祖定理中的系数。
用辗转相除法得到：
85 = 73 × 1 + 12
73 = 12 × 6 + 1
因为经过两次除法余数都是 1，所以 1 是 73 和 85 的最大公约数。然后通过逆向计算可以得到：
1 = 73 - 12 × 6
1 = 73 - (85 - 73) × 6
1 = 73 × 7 - 85 × 6
这表明 73 和 85 的系数 a 和 b 分别为 7 和 -6。根据贝祖定理，方程 73x + 85y = 7 的整数解为：
x = 7 × 7 + 85 × (-6) + k × (85 / 1)
y = (-6) × 7 + 73 × 6 + k × (-73 / 1)
其中 k 表示任意整数。将式子代入原方程，得到：
73x + 85y - 7 = 73(7 × 7 + 85 × (-6) + k × (85 / 1)) + 85((-6) × 7 + 73 × 6 + k × (-73 / 1)) - 7
整理化简可得：
73x + 85y - 7 = - 438 k
因此，当 k = -1 时，可以得到一组整数解：
x = 416，y = -353
因此，方程 73x + 85y - 7 = 0 的整数解为 (416, -353)。