Question

不定积分dx除以根号下(sinxcosx³)?

Answer 1

我们可以对根号下(sinxcosx³)进行一些代数变形，来使得被积函数更加易于处理。注意到
sinx cosx³ = sinx cos²x cosx = sinx (1 - sin²x) cosx = sinx cosx - sin³x cosx.
因此，我们可以将原式改写为：
∫ dx / √(sinx cosx³) = ∫ dx / √(sinx cosx) √(1 - sin²x)
然后，我们可以进行代换 u = sinx，得到 du/dx = cosx，因此 dx = du/cosx。带入上式，得到：
∫ dx / √(sinx cosx³) = ∫ du / √(u (1-u²)) = ∫ du / √u √(1-u²)
接下来，我们可以进行第二次代换，令 u = sinθ，得到 du = cosθ dθ，从而
∫ dx / √(sinx cosx³) = ∫ du / √u √(1-u²) = ∫ dθ / √(1-sin²θ) = ∫ dθ / cosθ = ln|secθ + tanθ| + C
最后，将 θ = arcsin(u) 和 u = sinx 代回去，得到：
∫ dx / √(sinx cosx³) = ln|sec(arcsin(x)) + tan(arcsin(x))| + C = ln|√(1-x²) + x| + C.
因此，原不定积分的结果为 ln|√(1-sin²x) + sinx| + C。