Question

下列函数是否是单射函数?是否是满射函数?是否是双射函数?x2=y2，2x+2y=y2

Answer 1

【答案】：f是I到I的单射函数。因为当x和y是不同的整数时，即x≠y时，2x≠2y，即f(x)≠f(y)，所以f是单射函数。
f不是I到I的满射函数。因为函数的值域f(x)是偶数集合，它是I的真子集，所以f不是I到I的满射函数。$f是Q到Q的单射函数。因为当x≠y时，2x≠-2y，即f(x)≠f(y)，所以f是Q到Q的单射函数。
f是Q到Q的满射函数。因为对于任意的有理数x必存在Q₊=f(也是有理数)，使得Q₊=0，所以f是Q到Q的满射函数。
由此可见，f是Q到Q的双射函数。$f是I₊到I₊的单射函数。因为当x和y是不同的正整数时，x²≠y²，即f(x)≠f(y)，所以f是I₊到I₊的单射函数。
f不是I₊到I₊的满射函数。例如，对于正整数2，不存在x，使得x是正整数，且f(x)=x²=2，所以f不是I₊到I₊的满射函数。$f是Q₊到Q₊的单射函数，但不是满射函数。理由同(3)。