Question

一道高中数学题、平面几何的~

题干：平面上有四点，连结其中的两点的一切直线中的任何两条直线不重合、不平行、不垂直，从每一点出发，向其他三点做成的一切直线作垂线，则这些垂线的交点个数最多为？

答案是44...老师做了下是52..是哪里多算了8?

给个详解...谢了~

Answer 1

44个。

（我算的也是52
共12条垂线，任取两个得总的交点个数是C12-2=66个
但是有不符合条件的去掉
（1）有三个直线交于一个顶点的，应该去掉2个，有四个顶点，共去掉8个
（2）有同垂直于一条直线的垂线，他们平行，没有交点，再去掉6个
所以交点个数是66-8-6=52个

严重怀疑答案错了）

任取三点所得到的三角形的垂心
也是三线交于一点
一共4个垂心
就是剩下得那8个交点

注：初步算出来是52，答案是44，这种情况下答案出错得可能性其实是很小的，因为44这个数不可能被无缘无故地生造出来，而52-44=8，正好等于第一次排除的个数，所以猜想应该还有看不到得三线交点（4个）

——————————————新东方 太原 数学教师

Answer 2

我算的也是52
共12条垂线，任取两个得总的交点个数是C12-2=66个
但是有不符合条件的去掉
（1）有三个直线交于一个顶点的，应该去掉2个，有四个顶点，共去掉8个
（2）有同垂直于一条直线的垂线，他们平行，没有交点，再去掉6个
所以交点个数是66-8-6=52个

严重怀疑答案错了

-----看跟帖，答案确实是44，人多力量大呀

Answer 3

已知4点构成一个四边形，共12条垂线，任取两个得总的交点个数是C12-2=66个
但是有不符合条件的去掉
（1）有三个直线交于一个顶点的，应该去掉2个，有四个顶点，共去掉8个
（2）有同垂直于一条直线的垂线，他们平行，没有交点，再去掉6个.
(3)四边形共有4个三角形，每个三角形有三条高线交于一点，共去掉8个.
所以交点个数是66-8-6-8=44个

Answer 4

高中毕业半年了、一看这个题目、真不好意思、我全部忘光了。。。