Question

advanced mathmatics~~~高等数学】about diff. equation~~~task-5,两个小小的疑问？谢谢您

微分方程，在解题过程中，冒出来的疑问-问题2，问题3~~~具体问题，请见图示THANKS!

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Answer 1

#问题2#

令v为常数C3之目的在于将上一个方程化为仅为变量u的微分方程，以便简化接下来的计算。其合法性在于：二阶线性非齐次微分方程通解结构相关理论的支撑。

图中二阶线性非齐次微分方程的通解的结构为：齐次方程的通解（c1*cosx+c2*sinx）+非齐次方程的特解，即y=c1*cosx+c2*sinx+f(x)，所以令v=C3，即定下了c2*sinx的部分，接下来只要保证c1*cosx+f(x)=u*cosx，得到的依旧是原方程的通解。下面的步骤正是求解这个u的过程。

从上面分析可知，也可以令u=C3，然后求解v，最终结果必然一致。

#问题3#

又回到全微分的计算了，记得之前提及一般有两个方法：凑微分或者选择路径积分，这里提供我比较偏爱的凑微分方法：

追问

您图中用到了凑全微分，我彻底看懂~~~另外，这道题目，

也是可以运用，凑全微分的方法！但问题就是，【添加一个东西】就比较难，

好像要有更大的想象力，感觉，几何里面添加辅助线一样~~~

另外，我个人认为，这也涉及到一个人的能力，【添加term】是更加难一点，要求人的能力，更高一点【另外，我抄袭下来，可以说满A4纸！而且这次，我感觉，你的这段文字，相当不易，呵呵~~我一直琢磨，一直琢磨~~~】

追答

根据通解结构可知: y=c1*cosx+c2*sinx+f（x），而题中一开始设y=u*cosx+v*sinx，得到：
c1*cosx+c2*sinx+f(x)=u*cosx+v*sinx，这类似于一个“不定方程”，一个方程要确定u,v两个变量。所以根据等式的形式，可以令v=c2，然后求解u即可；或者令u=c1，然后求解v。

至于结果的形式，那是必然的，因为它在求解之前我们就可以确定通解的结构了。

追问

上图：就是遵照，您得那句话，就是说，

类似于不定方程，也可以，令u=c1

但问题是：我怎么解答不出来啦？

下图：应该是，比较是属于比较简单的！

但是，

我还想请教老师一下：

我的思路，是否正确？

追答

第一个，其实你已经变换成了我们熟悉的一阶线性微分方程，接下来直接代入通解公式即可，积分过程交给你了，心算一下是可积的

第二个的话参考二阶常系数线性微分方程的特解结构即可。恕我无法明白你的解法的依据所在。

追问

上面2图，针对第一个问题

我发飙了我自己的观点【可能是，错误的！】

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下面二图，针对第二个问题

然后，我在思考和质疑：

老师，您说的几重几重根（也就是，e的指数alpha），

到n=2,n=3,n=。。。。。。时，

我无法用起来

那我的理解障碍，又出在哪里呢？

下图，是对上图的补充

追答

1、关于积分的问题，你已经到了正确答案的边缘了，第一步积分得到ln|tanx|，注意通解公式是代入e^()，所以是tanx，接下来的积分并不困难。

2、关于重根数的问题，再解释一下

从你后两图来看，你还需要查阅二阶常系数线性微分方程特解形式方面的资料