Question

求数列1，1/1+2，1/1+2+3，……1/1+2+3+……+n的前n项和

求数列1，1/1+2，1/1+2+3，……1/1+2+3+……+n的前n项和

Answer 1

答案是：2n/((1+n)
过程：1+2+3+......+n=((1+n)*n)/2,第n项的都是=((1+n)*n)/2。1=1/1
故通项为：2/((1+n)*n)=2*(1/n-1/(n+1))
即：第一项：2*(1/1-1/2)
第二项：2*(1/2-1/3)
第三项：2*(1/3-1/4)
第四项：2*(1/n-1/(n+1))
故前n项的和：2*(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/(n+1))注意中间项都抵消了，只剩下2*（1-1/(n+1))=2n/(1+n）。

Answer 2

首先来看通项an=1/((n(n+1))/2)=2/(n(n+1))=2(1/n-1/(n+1))
所以前n项的和为
2（1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1))=
2(1-1/(n+1))=
2n/(n+1)