Question

求函数f(x)的单调区间

对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，如果函数f(x)=(x^2+a)/(bx-c) (b,c∈N)有且只有两个不动点0，2， 且f(-2)<-1/2

（1）求函数f(x)的单调区间；

Answer 1

令f(x)=x
即(x^2+a)/(bx-c)=x
化简
（1-b)x^2+cx+a=0,有两个根0,2
所以0+2=c/(b-1),0*2=a/(1-b)
所以c=2(b-1),a=0,b不为1
判别式=c^2-4a(1-b)=c^2>0恒成立
因为f(-2)<-1/2，代入x=-2
(4+a)/(-2b-c)<-1/2
整理为：c<8-2b
而c=2(b-1),所以2（b-1)<8-2b
b<2.5,b,c∈N所以b=2
so c=2
f(x)=x^2/(2x-2)
因为单调区间与正系数无关，所以考察函数y=x^2/(x-1)
令x-1=t,t不为0
so x=t+1
y=(t+1)^2/t=t+1/t+2
t+1/t的单调区间即为原函数的单调区间
所以f(x)在（-无穷，-1），（1，+无穷）递增
在（-1，0），（0，1）递减

Answer 2

f(x)在（-无穷，-1），（1，+无穷）递增
在（-1，0），（0，1）递减