Question

一条有关函数周期的数学题(高中以上)

求函数y=cos(x/2)+2sin(x/3)的周期(最小正周期)

答案我有,要的是过程.
1,2楼的和我脑中想的是一样,
可是没有书面点的过程么?

另外那个sin前面的系数"2"对这个没有影响?

Answer 1

有一个公式就是y=cos(x/a) 那么这个函数的最小正周期就是2π*a。
那么y1=cos(x/2) 他的周期是4π
y2=2sin(x/3)的周期是6π
然后就是2个函数周期的合成。举个简单的例子吧。有两个人跑步。一个人4分钟跑一圈，一个人6分钟跑一圈，就问什么时候这俩人跑的位置能和刚开始起跑的位置一样呢？显然，那必须2个人同时跑了整数圈，这个应该是容易理解的。那么第一个人在4、8、12……分钟的时候跑回起点，第二个人在6、12、18……分钟的时候跑回起点，显然在12、24、36……分钟的时候两个人同时跑到起点。这样可以帮助你理解为什么合成函数的最小正周期要取两个函数各自最小正周期的最小公倍数了。
因此该题答案就是12π

Answer 2

cos(x/2)的最小周期为2π/(1/2)=4π①
sin(x/3)的最小周期为2π/(1/3)=6π②
设本题的函数的最小周期为θ,根据周期的定义知
y(x)=y(x+θ)
即cos(x/2)+2sin(x/3)=cos[(x+θ)/2]+2sin[(x+θ)/3]
cos(x/2)+2sin(x/3)=cos(x/2+θ/2)+2sin(x/3+θ/3)③
根据正、余弦周期的定义有
cos(x/2+2π)=cos(x/2)
sin(x/3+2π)=sin(x/3)
③式成立的条件是
θ/2是2π的整数倍;θ/3是2π的整数倍
θ是4π的整数倍;θ是6π的整数倍
所以θ是12π的整数倍
最小正周期是12π

Answer 3

把等式右边看成单独的两部分
cosx的最小正周期是2pi
即x1/2=2pi 所以 x1的最小正周期是4pi
sinx的最小正周期是2pi
即x2/3=2pi 所以 x2的最小正周期是6pi
两者取最小公倍数 即12pi