Question

高等数学 函数的幂级数展开式的问题

将函数展开为指定的幂级数，并写出其收敛区间
将函数f(x)=lgx展开为（x-1)的幂级数

答案：lgx=(1/ln10)(上标“无穷”,下标“n=1”）∑(-1)^(n-1) * [(x-1)^n]/n 收敛区间：（0，2]

Answer 1

我们知道，将对数函数ln(1+x)展开成关于x的幂级数,有
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…+(-1)^(n-1)* x^n/n+… -1＜x≤1

应用换底公式，f(x)=lgx=lnx/ln10=ln[1+(x-1)]/ln10
故f(x)=(1/ln10)∑(-1)^(n-1) * [(x-1)^n]/n (-1<x-1≤1)
收敛区间为-1<x-1≤1
即0<x≤2

Answer 2

记y=(x^2+3x+2)^(-1)则（x^2+3x+2)*y=1……（1）
对上式求一阶导的
（x^2+3x+2)*
y‘
+（2x+3）y=0
对（1）式求(n+1）阶导数的
（x^2+3x+2)*
y^(n+1)+（2x+3)*y^(n)+2y^(n-1）=0把x=-4带入求的
6 y^(n+1)-5y^(n)+2y^(n-1）=0
把y'
和y在x=-4的值带入就可以求的y^(n)的递推公式

Answer 3

ln10=ln[1+(x-1)]/ln10
故f(x)=(1/3-x^4/2+x^3/ln10)∑(-1)^(n-1)
*
[(x-1)^n]/n
(-1<x-1≤1)
收敛区间为-1<4+…+(-1)^(n-1)*
x^n/n+…
-1＜x≤1
应用换底公式，f(x)=lgx=lnx/我们知道，将对数函数ln(1+x)展开成关于x的幂级数,有
ln(1+x)=x-x^2/