Question

初三奥数题(关于圆的)

如图，圆O中，AB,AC为切线分别切圆与D,E且BC过O点，F为弧DE上一点，过F作圆O的切线交AB,AC于M,N。求证，△MBO∽OCN

Answer 1

少一个条件：AB=AC（△MBO∽△OCN 就意味着∠B=∠C，但是题目只说BC过O）
1) 显然∠DOB=90°-∠B，∠EOC=90°-∠C，于是∠DOE=180°-(∠DOB+∠EOC)=∠B+∠C=2∠B
2) 显然∠DOM=∠FOM，∠EON=∠FON，于是∠DOE=∠DOM+∠FOM+∠EON+∠FON=2(∠FOM+∠FON)=2∠MON
3) 比较1)、2)的结论可知∠MON=∠B=∠C
4) 根据3)的结论，以及∠BMO=∠OMN可知△MBO∽△MON
5) 根据3)的结论，以及∠CNO=∠ONM可知△OCN∽△MON
6) 由4)、5)的结论可知△MBO∽△OCN
证毕