Question

高等数学证明题，要有详细解答过程。

Answer 1

Answer 2

由[a,x](x>a]上拉格朗日定理, f(x)-f(a)=f(c)(x-a)>k(x-a), (其中c为x与a之间的某一点),得f(x)>f(a)-k(x-a).这里x为任何大于a的实数.现在特别取x=x0=a-f(a)/k, 由于f(a)<0及k>0,可知x0>a.此时f(x0)-f(a)>k(x0-a)=k(f(a)/k)=f(a), 移项后可知f(x0)>0. 于是在[a,x0]区间端点f(a)f(x0)<0, 由连续函数介值定理,必至少有c在a与x0之间,使f(c)=0,即f(x)=0在此区间上至少有一个实根.
下面证只有一个实根:用反证法:如果有多个实根,不妨设b<c是区间上两个不同的实根: a<b<c<x0.则在[b,c]端点上函数f(x)=0,用罗尔定理,必至少有一个h,f'(h)=0.这与f'(x)>k>0的条件矛盾.

Answer 3