Question

"连续函数f(x)在区间[a,b]上的极大值点是函数在该区间取得最大值的点"成立的充要条件是？

以上，求解答求证明。谢谢 另外如果改为极小值点、最小值，结论应该一样吧？ 产生这个疑问是在学二项式定理的时候，有一类问题是求系数最大的项，设Pn表示系数，那么标准解答就是满足方程组Pn>Pn+1，Pn>Pn-1的n值。但这个式子解出的n表示的是函数f(n)=Pn的极大值点，极大值不一定是最大值，这里标准答案却直接把极大值当成了最大值。二者什么时候是等同的呢？ 请高手解答，谢谢。

Answer 1

充要条件可以有好几个：
(1)当连续函数f(x)在区间[a,b]上只有一个极大值点时，若极大值大于两端点f(a),f(b)的值，则成立。
(2)当连续函数f(x)在区间[a,b]上有多个极大值点时，必须同时满足该极大值为该区间上所有极大值中最大的，且比端点f(a),f(b)的值都大。

换成极小、最小也成立。

二项式定理中，二项式系数只有一个极大值且没有极小值(该结论可以证明，较复杂)，那么该极大值就是最大值了，可以画函数图象验证。