Question

在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4+a5=211/7，1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+1/a5=211/48,求a3的值

希望步骤详细
打错了 a1+a2+a3+a4+a5=是211/27

Answer 1

设公比为q. 则 a1=a3/q^2,a2=a3/q,a4=a3q,a5=a3*q^2.
于是第一式化为 a3*(1/q^2+1/q+1+q+q^2)=211/27 (1)
第二式化为 1/a3*(1/q^2+1/q+1+q+q^2)=211/48 (2)
(1)式除以(2)式即有 a3^2=48/27=16/9, 于是 a3=4/3 或者 a3=-4/3.
注意到 1/q^2+1/q+1+q+q^2
=(1/q^2+q^2)+(1/q+q)+1 (1/q^2+q^2=(1/q+q)^2-2)
=(1/q+q)^2+(1/q+q)-1
=(1/q+q+1/2)^2-5/4
而当q>0时，1/q+q+1/2>=5/2, 此时 (1/q+q+1/2)^2-5/4>=(5/2)^2-5/4>0;
当q<0时，1/q+q+1/2<=-3/2, 此时 (1/q+q+1/2)^2>=(-3/2)^2-5/4>0.
即无论那种情况，都有 1/q^2+1/q+1+q+q^2>0, 因此由(1)式必有 a3>0.
综上，a3=4/3.