Question

已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+无穷大)内恒成立，则实数a的取值范围为_____

要求有详细过程，答案是a>=1 我不知道为什么有等号，我算的是a>1，望解答。
kemqie的回答我没明白，是我太笨了吧，如果你明白希望你能写下详细过程

Answer 1

f'(x)=a-1/x=(ax-1)/x
1.当a<0时令f'(x)>0得x>0或x<1/a

所以f(x)在(1,+∞)在单调递增
此时f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=a-ln1=a<1 不符题意。 ……①
2.当0≤a＜1时

令f'(x)>0得x<0或x>1/a

所以f(x)在(-∞,0)∪(1/a,+∞)单调递增
此时f(1/a)=1-ln(1/a)=1-lna<1,而x=1/a>1.不符题意。

3.当a≥1时

令f'(x)>0得x<0或x>1/a

所以f(x)在(-∞,0)∪(1/a,+∞)单调递增
此时f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=a-ln1=a=1
由于f(x)在(1,+∞)上是单调递增，所以当取x>1时恒有f(x)>f(1)=1 ……②

①②中x的区间左端是闭区间即x可以取等号，②中x取等于1时才有f(1)=1当x>1是

才有f(x)>f(1)=1。（a和x两者有一个是可以取等号的，而题知x不能取等号，所

以a就取等号。）

好了由于时间紧，可能中间会有错误~~我想你1，2，3你也懂了，主要就是最后的括号那里了。