Question

复变函数中在闭区域解析，边界怎么会解析？如何用有限覆盖定理证明，求证明的详细过程！

Answer 1

设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在[a,b]内。如果它不存在收敛子序列，于是对[a,b]内的任
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限
个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。

Answer 2

复变函数在闭区域解析，意指其在包含该闭区域的一个更大的区域内解析（见《复变函数》（第五版-余家荣编，高等教育出版社）P21），而原本的闭区域的边界也包含在这个更大的区域内，因此该函数在原本闭区域的边界解析