Question

△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2 cos²(A/2+B/2)=√2-cos(C/2)

△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2 cos²(A/2+B/2)=√2-cos(C/2)
⑴求角C的大小
⑵若c=4，求三角形面积的最大值
过程要详细。

一定要有详细的步骤。

Answer 1

(1)
因为△ABC，A+B+C=π
所以A+B=π -C ， A+B/2=π/2-C/2

因为√2 cos²(π/2-C/2) = √2-cos(C/2)
√2sin²C/2 = √2-cos(C/2)
√2(1-cos²C/2) = √2-cos(C/2)
√2 cos²C/2 = cos(C/2)
因为 cos(C/2)不等于0
所以 cos(C/2) = √2/2

又因为 cos(C/2)<π/2
所以 C/2=π/4 , 即 C=π/2

(2)
因为Rt△ABC , C=4
所以a²+b²=C²=4²=16 , 即a²+b²=16

因为a²+b² > 2ab ( “>” 是大于等于，我打不出来。）
所以 S△ABC =1/2 ab < (a²+b²)/4 （“<” 是小于等于）

所以S △ABC max = 4.

Answer 2

（1）C=90°。（2）Smax=4.