Question

这道微分方程怎么算啊

Answer 1

解：由y'=1/(xy+y³)==>dx/dy=xy+y³..........(1)
先解方程(1)得齐次方程dx/dy=xy.........(2)
∵dx/dy=xy ==>dx/x=ydy ==>ln│x│=y²/2+ln│C│ (C是非零积分常数)
==>x=Ce^(y²/2)
∴方程(2)的通解是x=Ce^(y²/2)
于是，设解方程(1)得解为 x=C(y)e^(y²/2) (C(y)是y的函数)。
代入方程(1)，得 C'(y)e^(y²/2)+yC(y)e^(y²/2)=yC(y)e^(y²/2)+y³
==>C'(y)e^(y²/2)=y³ ==>C'(y)=y³e^(-y²/2)
==>C(y)=∫y³e^(-y²/2)dy=C-(y²+2)e^(-y²/2) (应用分部积分法，C是任意常数)
==>x=(C-(y²+2)e^(-y²/2))e^(y²/2)=Ce^(y²/2)-y²-2
则 解方程(1)的通解是 x=Ce^(y²/2)-y²-2 (C是任意常数)
故 原方程的通解是 x=Ce^(y²/2)-y²-2 (C是任意常数)。