Question

高中数学解析几何问题

已知方向向量为v=(1,根号3）的直线l过点(0,-2根号3）和椭圆C：
x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0）且椭圆的离心率为 根号6/3

（1）求椭圆C的方程
（2）若已知点D（3，0），点M N是椭圆上不重合的两点，且DM=kDN （带向量符号） ，求实数k的取值范围

第一问我会做，但是第二问我遇到了点麻烦

我的思路是设出过点D的方程，联立椭圆方程，消去y，再根据判别式的到一个斜率的范围，以及用伟达定理得到x1+x2这样的关系

再根据定比分点定律，又得到x1+kx2的关系，最后把k用只含斜率表示出来

但是。。。表示不出来

是我的思路有问题么？ 求高人解答

请给出第二问的详细解答过程
不是吧，第一问由方向向量得出直线l的斜率为根号3，可以把直线l的方程写出来，再令y=0 得到x=2

所以(2,0)就是椭圆的右焦点了，c知道了，根据离心率知道a 就能求b了

没错啊

Answer 1

楼主你的思路太繁琐了，你没有画图想想它们的关系吗？

已知方向向量为v=(1,√3）的直线l过点(0,-2√3）和椭圆C：
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0）的右焦点且椭圆的离心率e=√6/3.

(1）求椭圆C的方程
(2）若已知点D（3，0），点M N是椭圆上不重合的两点，且DM=kDN （带向量符号），求实数k的取值范围

(1)
因为e=c/a=√(a²-b²)/a=√6/3 解得a²=3b² a=√3b
直线的斜率为：方向向量(1,√3)的斜率 =√3
l过(0,-2√3) ,斜率为√3的方程 为：
y+2√3=√3x①
再令y=0解得x=2 ,(2,0就是椭圆的右焦点了)
因为椭圆的右焦点为：(√(a²-b²),0)
√(3b²-b²)=2解得b²=2
a²=3*2=6
椭圆方程为x²/6+y²/2=1①

(2)

首先D(3,0)点在椭圆的外侧。

画图可以知道：
过(3,0)的直线组从与椭圆下方相切到X轴上然后再到与椭圆上方相切
它们的比值是从1（≠1）一直减小的
当到X轴时它最小
当直线为X轴上时，交点分别为左右顶点，分别为M(√6,0),N(-√6,0)
有k=(3-√6)/(3+√6)
反过来看(对调M,N)知它们的比值是从1一直增加的到(3+√6)/(3-√6)
所以有:k∈[(3-√6)/(3+√6),(3+√6)/(3-√6))]且k≠1
既k∈[5-2√6,1)∪(1,5+2√6]

Answer 2

方程很容易解吧
第二小问其实也很容易
联立后有
x1+x2
x1x2
这些用伟达定理表示出k来
最后利用△大于等于0来算就可以了

Answer 3

首先题目貌似漏了点什么，椭圆就求不出来……
是这的啊！……
好吧！第二问我用参数方程
设过D的直线为：x=3+t*cosθ （t为动点到D的距离，θ为倾斜角）
y=t*sinθ
椭圆C为：x^2/6+y^2/2=1
则：（3+t*cosθ）^2/6+ (t*sinθ)^2/2=1
t1/t2=(-3cosθ+√(6cos^2θ-9sin^2θ))/(-3cosθ-√(6cos^2θ-9sin^2θ))
当sinθ=0时，t1/t2最小：t1/t2=（3-√6）/(3+√6)=DN/DM 或 DM/DN
∴k∈(5-2√6,1）∪（1,5+2√6）