Question

高中数概率学题

有5个信封，依次编号为1、2、3、4、5。还有5封信，也编号为1、2、3、4、5。如果每个信封里装一封信，并且所装的信和信封的号码至少有一个相同的概率是？
5×4！这样算为什么不对？

Answer 1

5个信封装5封信总共是5！=120种（分母）
分子不是5×4！，这个会有重复：比如1号信封里装1号信，剩下的4封信有4！种分法，其中一种就是编号全部一致的；同理，2号信封装2号信时，剩下的4封信也会出现这种分法。

这里要解决的一个问题是：信和信封号码都不一致的有几种。
1号信可以进2，3，4，5号信封，有4种；
1号信进几号信封，接下来就考虑几号信的位置
（假如1号信进4号信封，那么接下来就考虑4号信的位置）：
一、如果4号信进1号信封，那么剩下的3封信要分别进与自己编号不同的信封，
然后2号信的位置可以有两种，假定进入5号信封，那么5号信就不能进入2号信封，否则3号信就只能进入3号信封了，结论【3封信装进3个信封里，如果信与信封的编号都不一致，那么只有2种方法】
二、如果4号信没进1号信封，那么4号信有3种选择，假设进2号信封，那么接下来考虑2号信的位置
1、如果2号信进入1号信封，那么剩下的3号，5号的位置就必须互换，那么只有1种；
2、如果2号信没有进1号信封，那么还有2种选择，比如进了5号信封，那么5号信还有2种选择，剩下的3号信就没有选择的余地。
所以分子=4×【2+3×（1+2）】=44
从左到右各个数字的含义：
4：第一个放的信（编号i)有4种选择，最后放进信封j里面
2：如果信j放进了信封i里面，那么剩下的3封信只有2种方法
3：如果信j没有放进信封i里面，那么有3种方法，最后放进信封k
1：如果信k放进了信封i，那么剩下两封信的位置必须互换
2：如果信k没有放进信封i，那么有两种方法，剩下的2封信也只有一种放法了