Question

设直角边为a,b,斜边长为c,若a,b,c均为整数，且c=1/3ab-(a+b),求满足条件的三角形的个数

Answer 1

因为三角形是直角三角形，c是斜边，所以 a^2+b^2=c^2.
对等式 c=1/3ab-(a+b) 两边平方可得：
c^2
=1/9*a^2*b^2+(a+b)^2-2/3*ab*(a+b)
=1/9*a^2*b^2+a^2+b^2+2ab-2/3*ab*(a+b)
=1/9*a^2*b^2+c^2+2ab-2/3*ab*(a+b)
比较c^2与最后一个式子，消去c^2可知：
1/9*a^2*b^2+2ab-2/3*ab*(a+b)=0
两边再约去ab可得：
1/9ab+2-2/3(a+b)=0, 即 ab-6(a+b)+18=0. 于是有
(a-6)(b-6)=18. 不妨设a>b(因为三边长都是正数的直角三角形不可能有两边相等)，那么有如下几种情况：
(1)a-6=18,b-6=1.
此时 a=25,b=7. 此时c^2=674,c不是整数，矛盾。
(2)a-6=9,b-6=2.
此时 a=15,b=8. 容易求得 c=17 是整数，满足条件。
(3)a-6=6,b-6=3.
此时 a=12,b=9. 容易求得 c=15 是整数，满足条件。
此外，a-6,b-6也可以是负整数，但此时简单计算即知无解。例如 a-6=-2,b-6=-9 或者 a-6=-3,b-6=-6, b不是正整数，矛盾。
综上，满足条件的三角形有两个，它们的边长分别为：
(8,15,17) 或者 (9,12,15).