Question

求问一道概率论数学期望的题目：

设随机变量X,Y相互独立且均服从标准正态分布N(0,1),求E[(X^2)/(X^2+Y^2)]

Answer 1

1题，【计算过程中，设A=1/√(2π)】(1)，∵X~N(0,1)、Y~N(0,1)，且X、Y相互独立，∴X、Y的联合分布密度函数f(x,y)=A²e^(-x²/2-y²/2)。

E[x²/(x²+y²)]=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)x²f(x,y)dxdy/(x²+y²)=A²∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)x²e^(-x²/2-y²/2)dxdy/(x²+y²)。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴E[x²/(x²+y²)]=A²∫(0,2π)cos²θdθ∫(0,∞)ρe^(-ρ²/2)dρ=1/2。
【图片上的题】∵X~P(1)，∴其概率分布函数P(X=k)=(1/e)/(K!)，E(X)=D(X)=1。∴E(X²)=D(X)+E(X)=2。
∴P[X=E(X²)]=P(X=2)=1/(2e)。
供参考。