令√x=t
x=t^2
dx=2tdt
∫√x/（1+x）dx
=∫t/(1+t^2)*2tdt
=∫2t^2/(1+t^2)dt
=∫2∫[1-1/(1+t^2)]dt
=2t-2arctant+C
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。
参考资料来源：百度百科——定积分
直接用公式法，简单快捷
x/(x-1) 的积分是x+ln|x-1|+C。
解：∫x/(x-1)dx
=∫(x-1+1)/(x-1)dx
=∫(1+1/(x-1))dx
=∫1dx+∫1/(x-1)d(x-1)
=x+ln|x-1|+C。
即x/(x-1) 的积分是x+ln|x-1|+C。
扩展资料：
1、不定积分的运算法则
（1）函数的和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差）。即：
∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx
（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：
∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx
2、不定积分公式
∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫e^xdx=e^x+C
参考资料来源：百度百科-不定积分
积分=2∫1/√(1+t²)dt
另t=tanu
积分=2∫secudu=2ln|secu+tanu|
(然后代上下限)
=∫[1,2] [1/x - 1/(x+1)]dx
=[lnx - ln(x+1)] | [1,2]
=ln2 - ln3 - ln1 + ln2
=ln(4/3)
