Question

问两个高数问题？

如下图，有三个问题，希望能给出步骤，谢谢！
补充几个问题：
1：泰勒中值定理的证明;(请写的详细,谢谢！)
2：y=f(x)在(0,+∞)有界可导
证明：当x-->∞时，limf'(x)存在时，必有x-->∞，limf'(x)=0;
3：设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数，证明存在x0∈(0,1), 使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[0,1]上以
y=f(x)的曲边梯形的面积！(转至考研原题）
谢谢了，谁答得多，就给谁，如答得好追加50分！
谢谢！

Answer 1

以下为最简单的方法：
f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。

Answer 2

大家。。。好厉害

Answer 3

给个邮箱给我 我发给你 不会在这上面打 打了估计你也难得看