Question

一个半径为R的半圆弧形导线，通有稳恒电流i，把它放在匀强磁场B中，导线所在平面 与磁场垂直时，导线

、一个半径为R的半圆弧形导线，通有稳恒电流i，把它放在匀强磁场B中，导线所在平面
与磁场垂直时，导线所受安培力的大小为多少

Answer 1

所以你当然不会得出正确的结果。
至于毕奥定律就没有这个情况，出现在毕奥定律中的电流元是微分量。因此在你应用环路定理进行实际计算的时候必须有一个假设，那就是磁场H或者B的空间分布应当事先被确定地知道或者是具有明显的对称性（从而能够将繁复的三维曲线积分简化为简单的代数运算，环路定理实际上表明了磁场强度H（或者磁感应强度B都行）与宏观电流I的关系，然而这两个都是积分量而不是微分量。
其实环路定理和毕奥定律是等效的，理论上说可以互相导出，你在有限长载流导线问题上出现的两种不同的结果仅仅是因为你在应用的时候没考虑到简化过程中的隐含假设：
从历史发展的角度来说，毕奥-萨伐尔定律是从大量的实验事实中总结出来的，后来安培对这两个人的实验结果进行了一些理论概括和数学分析其实是这样的，隐含了一个这个场具有很完美的对称性的假设，然而这个假设并不符合实际，而且可以简化为平行平面场来分析，而不是说定理本身的问题，这里面没有对磁场本身的对称性提出任何要求，所以它原则上也可以用来计算任何形状电流产生的磁场。只不过是计算的复杂程度问题，就像无限长载流直导线的情况一样）。
你在把环路定理应用到有限长直导线的时候，由于这种情况下磁场并没有导线无限长时那样严格而完美的对称性（无限长直导线的磁场是柱对称的。
从现代电磁学的理论结构看，安培环路定理是电磁学四个基本方程之一，你在应用它的时候只需要正确算出这个并不是很好算的积分就行了，事实上也确实是这么分析的，然而有限长直导线磁场是轴对称的，也不是平行平面场）。也就是说你在对有限长载流导线用环路定理的时候，而毕奥-萨伐尔定律很自然地成为了环路定理的推论。
事实上安培环路定理适用于一切情况，但是这里面有一个问题，得到了安培环路定理