Question

设0a1，证明：方程arctanx=ax在(0，∞)内有且仅有一个实根

怎么就只有一个实根了？





Answer 1

函数f(x)=arctanx -ax, f'(x)=1/(1+x^2)-a = 0得出1+x^2 =1/(a^2), x=根号(1-a^2)/a处取得极值
f(0)=0, f'(0) >0，所以在x=0的领域内f(x)>0，也就是存在0<m, f(m)>0
而因为arctanx <pi/2, 取x= pi/a，则显然arctanx -ax < pi/2 - a *pi/a =-pi/2 <0
所以在(0, pi/a)上f(m)>0, f(pi/a)<0，f(x)至少有一个0点 x0

假设f(x)有两个零点0<x0<x1，根据罗尔中值定理，在(0,x0), (x0,x1)上分别有两个点p,q使得f'(p)=f'(q)=0，显然这和f'(x)只有(1-a^2)/a一个零点矛盾
所以f(x)在(0,无穷大）上有且只有一个0点
也就是原来方程有且只有一个实数根

Answer 2

可以不看二阶导数，只看一阶导数，x在0到极值点间的一阶导大于零，说明函数先增，然后到最大值点，然后再减。x=0时函数值为零，画图一看就懂了。