Question

高数 间断点问题！

例1 为什么就只有x＝0的那个点需要求左右极限 而其他的两个点不用

Answer 1

初等函数在其定义域内都是连续的，所以间断点只存在于两种情况
1无定义点
2函数分段点
拿127举例，这不是分段函数，所以不存在分段点，
函数有分母，分母不能为0，所以分母为0的的点就是无定义点，
分别是x=1和x=0，此时求x趋近于0和x趋近于1时，函数的极限即可，
x趋近于0时，左右极限一正一负，所以这是一个跳跃间断点。
x趋近于1时，左右极限一个为正数，一个为0，故也是跳跃间断点，后面这几道一样的思路

Answer 2

在高数中，间断点是指函数在该点处不连续的点。间断点可以分为三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点是指函数在该点处不连续，但可以通过改变函数在该点的定义来使其连续。例如，函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处有一个可去间断点，因为当x = 1时，分母为0，导致函数不连续。但是，如果我们将函数在x = 1处的定义改为f(x) = x + 1，则函数在x = 1处就变成了连续函数。
跳跃间断点是指函数在该点处不连续，且左右极限不相等。例如，函数f(x) = [x]（取整函数）在所有整数处都有跳跃间断点，因为左右极限不相等。
无穷间断点是指函数在该点处趋于无穷大或无穷小，导致函数不连续。例如，函数f(x) = 1/x在x = 0处有一个无穷间断点，因为当x趋近于0时，函数的值趋近于正无穷或负无穷。
在高数中，间断点是一个重要的概念，因为它们可以帮助我们理解函数的性质和行为。

Answer 3

这个问题涉及到函数在某个点的连续性。当一个函数在某个点处连续时，它的左右极限和函数值相等。而当一个函数在某个点处不连续时，它的左右极限和函数值不相等。在这个例子中，当x=0时，函数f(x)的定义发生了变化，因此需要分别计算左右极限。而在其他两个点，函数f(x)的定义没有发生变化，因此它们不需要求左右极限。具体来说，当x<0时，f(x)的定义为f(x)=-1，当x>0时，f(x)的定义为f(x)=1。而当x=0时，f(x)的定义为f(x)=0。因此，当x趋近于0时，左侧的函数值为-1，右侧的函数值为1，因此需要分别计算左右极限。

Answer 4

也可以计算1和-1的左右极限，但是你会发现是一样的，但是对于函数e^(1/x)来说，当x趋向于0的时候，1/x趋向于无穷大，并且对于函数e^t来说，当t趋向于正无穷大和负无穷大的时时候，e^t的极限值是不同的。当t趋向于负无穷大时，e^t趋向于0，但是当t趋向于正无穷的时候，e^t趋向于正无穷大。