Question

若函数f(x)=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x+1在区间（1，4）内是减函数，在区间（6，＋∞）上是增函数

求实数a的取值范围
我看了别人的解法还是不太懂
请高手再详细点告诉我 我满意就悬赏20分哦

Answer 1

f(x)=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x+1
确认一下，上面那个函数是否是这个形式的
f(x)=(1/3)x^3-(1/2)ax^2+(a-1)x+1

是的话，这样做
先对f(x)求导，得到g(x)=x^2-ax+a-1
把上面的函数看成是a的函数，有
q(a)=(1-x)a+x^2-1
由于在区间（1，4）内是减函数，故 (1-x)a+x^2-1<0 (1)
在区间（6，＋∞）上是增函数,故(1-x)a+x^2-1>0 (2)

解不等式（1），(1-x)a<1-x^2
a>(1-x^2)/(1-x) 注意：1-x是小于0的，所以不等式要变号。
所以a>1+x, x大于1小于4，要让等式始终成立，a>1+4，即a>5。
（举个例子，假设x取2，则a>3,可是当x取3的时候，a的范围就有可能不成立了。）

解不等式（2），(1-x)a>1-x^2
a<(1-x^2)/(1-x) 注意：1-x是小于0的，所以不等式要变号。
所以a<1+x, x大于6，要让等式始终成立，所以a<7

Answer 2

解：∵函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x+1
∴f′（x）=x2-ax+（a-1）=（x-1）[x-（a-1）]
又∵函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，
∴4≤a-1≤6
∴5≤a≤7