Question

线性代数题目

Answer 1

|A| = |a1, a2, a3| =
|1+λ 1 1|
|1 1+λ 1|
|1 1 1+λ|
第 2，3 列加到第1列，然后，第 2，3 行减去第1行，得
|A| = |a1, a2, a3| = (3+λ)λ^2.
当 λ ≠ 0 且 λ ≠ -3 时，|A| ≠ 0， 方程 Ax = β 有唯一解，
即 β 可以由 a1, a2, a3 线性表示，且表示法唯一；
当 λ = 0 时，(A, β) = (a1, a2, a3, β) =
[1 1 1 0]
[1 1 1 0]
[1 1 1 0]
初等行变换为
[1 1 1 0]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
方程组 Ax = β有无穷多解，
即 β 可以由 a1, a2, a3 线性表示，且表示法不唯一；
当 λ = -3 时，(A, β) = (a1, a2, a3, β) =
[-2 1 1 0]
[ 1 -2 1 -2]
[ 1 1 -2 4]
第 1，2 行加到第 3 行，初等行变换为
[-2 1 1 0]
[ 1 -2 1 -2]
[ 0 0 0 2]
若(A, β) = 3, r(A) = 2, 方程组 Ax = β 无解，
即 β 不可以由 a1, a2, a3 线性表示。