Question

线性代数方程组

Answer 1

嗯，好问题
这个得说到解的情况了。
首先是齐次方程的通解。必须满足是线性无关的。
我们并不知道α1，α2是否线性无关。但我们知道α1，α1+α2(或者α1-α2）肯定是线性无关的。所以，关于齐次方程通解。为k1α1+k2(α1+α2)或者k1α1+k2(α1-α2）都是没有问题的。
特解么，你已经确认了是（β1+β2）/2
也没啥好说的。
所以，你的第一个不可以。第二个是可以的。

追问

知道是基础解系，就是说这是两个线性无关的向量组嘛，基础解系的定义就是解构成的解向量组的极大线性无关组嘛。

所以就相当于a1和a2是基础解系，也就是线性无关嘛，不是吗？

追答

OK, 我承认我看成了a1,a2是他的解向量了。。如果是他的基础解系，a1,a2天然的是线性无关的。你的两个答案也是正确的
我认为题干本身（或者说出题人就是想这么干）是想表达a1,a2都是AX=b的解（但不确认a1,a2是否线性无关）。现在要你求ax=b的解。如果都知道a1,a2是基础解系了。那还需要什么构造, a1,a2肯定是线性无关的。

追问

懂了，感谢，你的解答很清晰。

Answer 2

对齐次线性方程组Ax=0 将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵 (这时可确定自由变元, 但最好化成行最简形,以便于求解) 非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元, 其余变元取作自由变元. (这是一种最好掌握的取法, 别的取法就不必管它了)