Question

如何证明对数函数在定义域上无上界也无下界？

Answer 1

对数函数在定义域上无上界也无下界证明：

以f(x) = log a [g(x)]为例：首先底数a必须大于0并且不等于1求定义域：根据零和负数无对数，求出符合真数大于零即g(x)＞0时的的自变量的范围；

求值域：当底数a大于0小于1时，f(x)的值随着g(x)的增大而减小；当底数a大于1时，f(x)的值随着g(x)的增大而增大；由此可以画出函数图形，确认值域。

概念分析

如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

Answer 2

设函数f(x)在定义域A上有界，
则存在正实数k，对任意x∈A，|f(x)|<k成立.
即-k<f(x)<k成立.
所以f(x)在A上有上界k，下界-k.
反过来，f(x)在定义域A上既有上界M又有下界m，
即存在实数m，M，对任意对任意x∈A，m<f(x)|<M成立.
取k=max{|m|，|M|}，则有对任意对任意x∈A，
|f(x)|<k成立.
所以f(x)在A上有界.