Question

三角形ABC三边为a,b,c,已知三个内角A.B.C成等差数列，求证a+b分之1+b+c分之1＝a+b+c分之3

Answer 1

由题意:
要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
只要证:(a+2b+c)/(a+b)(b+c)=3/(a+b+c)
只要证:(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)
只要证:3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
只要证:3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
只要证:3ab+3ac+3b²+3bc=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca+ba+b²+bc
只要证:b²=c²+a²-ca
∵∠A,∠B,∠C成等差数列
∴2∠B=∠A+∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=60°
根据余弦定理:
cosB=1/2=(a²+c²-b²)/2ac
即:a²+c²-b²=ac
即:b²=c²+a²-ca
∴得证