Question

在2000,2001,2002…2017这18个自然数中,能表示为两个自然平方之差的数有几个？

Answer 1

m^2-n^2=(m+n)(m-n),其中m,n是整数，
m+n与m-n同奇偶，所以m^2-n^2是奇数或是4的倍数。反过来，
2n+1=(n+1)^2-n^2,
4n=(n+1)^2-(n-1)^2,
于是只有不是4的倍数的偶数不能表示为两个整数的平方差。在2000至2017的18个整数中以下4个偶数不是4的倍数：
2002=2×1001，
2006=2×1003，
2010=2×1005，
2014=2×1007，
不能表示为两个整数的平方差，其他14个都能表示为两个整数的平方差。

Answer 2

奇数都可以，9个，原理奇数可以分解为本身乘以1，例如2001=2001*1=【(2001+1)/2+(2001-1)/2】*【(2001+1)/2-(2001-1)/2】=(1001+1000)*(1001-1000)=1001^2-1000^2。
偶数能被4整除的可以，即2000、2004、2008、2012、2016，共5个。
一共14个数可以表示为两个自然平方之差。原理是，如果一个数可以分解为两个奇数相乘或两个偶数相乘，则可以表示为两个自然平方之差，如这个数只能分解为一奇和一偶相乘，则不能表示为两个自然平方之差。