Question

抛物线附带公式的推导

抛物线的焦点弦：设抛物线的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）则：
若直线AB的倾斜角为θ，则 l AB l ＝2p/sin²θ

Answer 1

证明：设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a（x1,y1),b(x2,y2)
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0
所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2
由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,
bf=x2+p/2
所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a
证毕

Answer 2

y²=2px
F(p/2,0)

斜率不存在
θ=90度,x=p/2
则y²=p²
y=±p
AB=y1-y2=2p=2p/sin²90
成立

斜率存在
y=tanθ(x-p/2)
y²=tan²θ(x²-px+p²/4)=2px
tan²θx²-(ptan²θ+2p)x+tan²θp²/4=0
x1+x2=(ptan²θ+2p)/tan²θ
准线x=-p/2
所以A到准线距离=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
抛物线定义
A到F距离等于到准线距离
所以AB=AF+BF=A到准线距离+B到准线距离
=x1+x2+p
=(ptan²θ+2p)/tan²θ+p
=(2ptan²θ+2p)/tan²θ
=2p(1+tan²θ)/tan²θ
=2psec²θ/tan²θ
=2p(1/cos²θ)/(sin²θ/cos²θ)
=2p/sin²θ

综上
AB=2p/sin²θ