抛物线所有公式
一般式:y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）
顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）
交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）
其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。
抛物线四种方程的异同
共同点：
①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
切线方程：
抛物线y2=2px上一点（x0，y0）处的切线方程为： 
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的方程为：y=k（x-p/2）。
扩展资料：
A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：
① 直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ， y1y2 = -p²；
（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² ， y1y2 = p²/4 ， 要在直线过焦点时才能成立）
② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；
⑥弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；
⑦△=b2-4ac；
⑴△=b2-4ac>0有两个实数根；
⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；
⑶△=b2-4ac<0没实数根。
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；
⑨标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0）
（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 ， y² =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ， y=（y+y0）/2 ）
参考资料：百度百科——抛物线
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2024-11-22 广告
抛物线的所有公式如下：
1. 标准形式方程：y = ax^2 + bx + c，a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)是在抛物线方程中代入x = -b/2a得到的y值。
3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且与抛物线垂直的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
5. 判别式：抛物线方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，判别式Δ用于判断抛物线的性质：
- 当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点，即有两个实根，开口向上或向下取决于a的正负；
- 当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点，即有一个实根，抛物线与x轴相切，开口向上或向下取决于a的正负；
- 当Δ < 0时，抛物线与x轴没有实根，开口方向与a的正负相反。
6. 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(Fx, Fy)，其中Fx = -b/2a，Fy = c - b^2/4a。
7. 函数对称性：抛物线是关于其对称轴x = -b/2a对称的。
8. 导数：抛物线的导数为y' = 2ax + b，导数表示抛物线在每一点的斜率。
这些公式可以帮助我们理解和分析抛物线的特性和性质，应用于解决与抛物线相关的数学问题和实际情况。
抛物线是一个经典的数学曲线，其一般的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
抛物线的所有公式如下：
1. 标准形式方程：y = ax^2 + bx + c，a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)是在抛物线方程中代入x = -b/2a得到的y值。
3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且与抛物线垂直的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
5. 判别式：抛物线方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，判别式Δ用于判断抛物线的性质：
- 当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点，即有两个实根，开口向上或向下取决于a的正负；
- 当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点，即有一个实根，抛物线与x轴相切，开口向上或向下取决于a的正负；
- 当Δ < 0时，抛物线与x轴没有实根，开口方向与a的正负相反。
6. 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(Fx, Fy)，其中Fx = -b/2a，Fy = c - b^2/4a。
7. 函数对称性：抛物线是关于其对称轴x = -b/2a对称的。
8. 导数：抛物线的导数为y' = 2ax + b，导数表示抛物线在每一点的斜率。
这些公式可以帮助我们理解和分析抛物线的特性和性质，应用于解决与抛物线相关的数学问题和实际情况。
1. 顶点坐标公式：
设抛物线的方程为y = ax^2 + k，那么抛物线的顶点坐标为(-b/2a, k - b^2/4a)，其中b = √(4ac-b^2)。
2. 对称性：
抛物线关于其顶点的垂直线是对称的，即x = -b/2a。
3. 抛物线与x轴交点：
抛物线与x轴交点的横坐标为x1, x2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。当b^2 - 4ac > 0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b^2 - 4ac = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当b^2 - 4ac < 0时，抛物线与x轴没有交点。
4. 抛物线与y轴交点：
抛物线与y轴交点的纵坐标为y = k。
5. 抛物线方程的一般形式：
抛物线方程的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数常数。这种形式包含了标准抛物线的形式（a ≠ 0）。当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
了解这些公式有助于我们分析和解决涉及抛物线的实际问题。
1. 零点或根：
抛物线的零点或根是指函数与 x 轴相交的点，即 y = 0 的点。
根的计算可利用一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
如果判别式 (b^2 - 4ac) < 0，则抛物线不与 x 轴相交，没有实根；
如果判别式 (b^2 - 4ac) = 0，则抛物线与 x 轴相切，有一个实根；
如果判别式 (b^2 - 4ac) > 0，则抛物线与 x 轴相交，有两个不同的实根。
2. 顶点：
抛物线的顶点是指函数的最高或最低点，也是抛物线的对称中心。
顶点的 x 坐标可由公式 x = -b / (2a) 计算；
顶点的 y 坐标可通过将 x 带入抛物线方程得到：y = a*(-b/(2a))^2 + b*(-b/(2a)) + c。
3. 对称轴：
抛物线的对称轴是指过顶点且垂直于 x 轴的直线，方程为 x = -b / (2a)。
4. 判别式：
判别式 b^2 - 4ac 可用于判断抛物线的根的个数及与 x 轴的关系。
5. 开口方向：
当 a > 0 时，抛物线开口向上；
当 a < 0 时，抛物线开口向下。
这些公式和概念可用于描述抛物线的基本特性，根据具体的 a、b 和 c 的值，进一步分析抛物线的形状、位置和性质。
1. 标准形式：$y = ax^2 + bx + c$
其中，$a$ 是抛物线的开口方向和大小，正值表示向上开口，负值表示向下开口；$(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标。
2. 顶点形式：$y - k = a(x-h)^2$
其中，$(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标，$a$ 是控制开口方向和大小的参数。
3. 描述形式：$x^2 = 4py$
其中，$p$ 是焦点到抛物线直线段的距离，可以控制抛物线开口的大小和方向。
此外，还有抛物线标准方程（$4a(y-k)=(x-h)^2$）、抛物线四点式等多种表达方式。在应用中选择合适的方程形式能够更加方便地进行计算和求解。
