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lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=?其中x>0
3个回答
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当x>e时
f(x)=limlnx(1+(e/x)^n)^(1/n)=lnx+limln(1+(e/x)^n)^(1/n)=lnx
当x>e时f(x)=limlne(1+(x/e)^n)^(1/n)=1+limln(1+(x/e)^n)^(1/n)=l
当x=e时
f(x)=ln2e^n/n=1
讨论一下定义域,是连续的
f(x)=limlnx(1+(e/x)^n)^(1/n)=lnx+limln(1+(e/x)^n)^(1/n)=lnx
当x>e时f(x)=limlne(1+(x/e)^n)^(1/n)=1+limln(1+(x/e)^n)^(1/n)=l
当x=e时
f(x)=ln2e^n/n=1
讨论一下定义域,是连续的
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利用罗密他法则
当e>x>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚/﹙e^n+x^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x/e﹚^nlnx﹚/﹙1+﹙x/e﹚^n﹚]
﹙
无穷小﹚
=1/1=1
当x>e>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚/﹙e^n+x^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x/e﹚^nlnx﹚/﹙1+﹙x/e﹚^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lnx
当x=e时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+e^nlne﹚/﹙e^n+e^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙2e^n﹚/﹙2e^n﹚]
=1
当e>x>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚/﹙e^n+x^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x/e﹚^nlnx﹚/﹙1+﹙x/e﹚^n﹚]
﹙
无穷小﹚
=1/1=1
当x>e>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚/﹙e^n+x^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x/e﹚^nlnx﹚/﹙1+﹙x/e﹚^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lnx
当x=e时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+e^nlne﹚/﹙e^n+e^n﹚]
﹙罗比达,无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙2e^n﹚/﹙2e^n﹚]
=1
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