Question

求证sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb 请配图说明

Answer 1

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明

如图

我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

在标准圆中.AB为直径.长度为1  由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.

令角A为角BAC

角B为角DAC

则角(A-B)为角BAD

证明如下:

cos(A-B)=AD/AB=AD  ①cosA=AC/AB=AC  ②sinA=BC/AB=BC  ③cosB=AE/AC   ④sinB=CE/AC

联立①③可知  cosB=AE/cosA  即cosAcosB=AE.

所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB  

又AD=AE+ED  即只要证明sinAsinB=ED即可

即要证明BC*CE/AC=ED

即要证明CE/AC=ED/BC

注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)

所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF

注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF

即可以证明CE/AC=EF/CF

即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB

由sinθ=cos(-θ)�

得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]

=cos[(-α)-β]�

=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ�

又∵cos(-α)=sinα�

sin(-α)=cosα�

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

Answer 2

解：

如图做出单位圆，则sin(a+b)=BN

sina=AM  cosa=OM   sinb=BH   cosb=OH

又sina=HQ/OH=AM  有HQ=AM·OH

又cosa=BP/BH=OM  有BP=OM·BH

则HQ+BP=BN=AM·OH+OM·BH

即sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

Answer 3

证明：

如图所示作单位圆，设∠AOC=α，∠COD=β，则∠AOD=α+β，AO=1

作AB⊥Ox交Ox于B，作AC⊥OC交OC于C，作CE⊥AB交AB于E，作CD⊥Ox交Ox于D

易证△OBF∽△ACF

∴∠COD=∠CAF=β

sin (α+β)

=sin∠AOD

=AB/AO

=AB

=AE+EB

=AE+CD

=AC*cosβ+OC*sinβ

=AO*sinαcosβ+AC*cosαsinβ

=sinαcosβ+cosαsinβ

证毕

Answer 4

先画单位圆 单位圆啊 很简单的

把三角函数都看作向量

则sina*cosb+cosa*sinb
=cos(π/2-a)cosb+sin(π/2-a)sinb
=[cos(π/2-a), sin(π/2-a)]*[cosb, sinb] → 看做两个向量的乘积
=1*1*cos(π/2-a-b) → 两个向量的模的乘积乘以它们的夹角
=cos(π/2-a-b)
=sin(a+b)

所以 得证

Answer 5

（1）因为
sin（a-b）=sin(a)*cos(b)-cos(a)*sin(b)=1/3
sin（a+b）=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)=1/2
3sin(a)*cos(b)-3cos(a)*sin(b)=1
2sin(a)*cos(b)+2cos(a)*sin(b)=1
3sin(a)*cos(b)-3cos(a)*sin(b)=2sin(a)*cos(b)+2cos(a)*sin(b)
所以解得sinacosb=5cosasinb
（2）因为tana=5tanb

原试可以换成sina/cosa=5sinb/cosb

对掉一下位置，就同证明第一题一样